Lời giải

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge m\left(1\right)\\\left(3x+2m\right)^2=\left(x-m\right)^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(2)\(\Leftrightarrow9x^2+12xm+4m^2=x^2-2mx+m^2\)

\(\Leftrightarrow8x^2+14mx+3m^2=0\)

\(\Delta'_x=49m^2-24m^2=25m^2\ge0\forall m\) => (2) luôn có nghiệm với mợi m

\(x=\dfrac{5\left|m\right|-7m}{8}\) (3)

so sánh (3) với (1)

\(\dfrac{5\left|m\right|-7m}{8}\ge m\Leftrightarrow\left|m\right|\ge3m\)(4)

m <0 hiển nhiên đúng

xét khi m\(\ge\)0

\(\left(4\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m^2\ge9m^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m\le0\)\(\Leftrightarrow m=0\)

Biện luận

(I)với m <0 có hai nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-3m}{2}\\x_2=\dfrac{-m}{4}\end{matrix}\right.\)

(II) với m= 0 có nghiệm kép x=0

(III) m>0 vô nghiệm

b) \(\left|2x+m\right|=\left|x-2m+2\right|\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+m=x-2m+2\left(1\right)\\2x+m=-\left(x-2m+2\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1): \(2x+m=x-2m+2\Leftrightarrow x=-3m+2\).
Xét (2): \(2x+m=-\left(x-2m+2\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{m-2}{3}\)
Biện luận:
Với mọi m phương trình đều có hai nghiệm:
\(x=-3m+2;x=\dfrac{m-2}{3}\).

c) \(mx^2+\left(2m-1\right)x+m-2=0\)
- Với m = 0 phương trình trở thành:
\(0.x^2+\left(2.0-1\right)x+0-2=0\)\(\Leftrightarrow-x-2=0\)\(\Leftrightarrow x=-2\)
- Xét \(m\ne0\)
\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4m.\left(m-2\right)=4m+1\)
Nếu \(4m+1>0\Leftrightarrow m>\dfrac{-1}{4}\) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(2m-1\right)+\sqrt{4m+1}}{2m}\);
\(x_2=\dfrac{-\left(2m-1\right)-\sqrt{4m+1}}{2m}\)
Nếu \(4m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-1}{4}\) phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=\dfrac{-\left(2m-1\right)}{2m}=\dfrac{-\left(2.\dfrac{-1}{4}-1\right)}{2.\dfrac{-1}{4}}=-3\)
Nếu \(4m+1< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{-1}{4}\) phương trình vô nghiệm.
Biện luận:
\(m=0\) phương trình có một nghiệm là x = -2.
\(m\ge\dfrac{-1}{4}\) và \(m\ne0\) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(2m-1\right)+\sqrt{4m+1}}{2m}\); \(x_2=\dfrac{-\left(2m-1\right)-\sqrt{4m+1}}{2m}\)
\(m\le\dfrac{-1}{4}\) phương trình có nghiệm kép:\(x_1=x_2=3\)

a) \(2m\left(x-2\right)+4=\left(3-m^2\right)x\)
\(\Leftrightarrow x\left(m^2+2m-3\right)=4m-4\)
​Xét \(m^2+2m-3=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-3\end{matrix}\right.\).
​Với \(m=1\) thay vào phương trình ta được:
\(0x=0\) luôn nghiệm đúng \(\forall x\in R\).
​Với \(m=-3\) thay vào phương trình ta được:
\(0x=4.\left(-3\right)-4\)\(\Leftrightarrow0x=-16\) phương trình vô nghiệm.
​Xét \(m^2+2m-3\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\).
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất: \(x=\dfrac{4}{m+3}\).
​Biện luận:
​Với m = 1 phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R.
​Với m = -3 hệ vô nghiệm.
​Với \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\) phương trình có nghiệm duy nhất là: \(x=\dfrac{4}{m+3}\).

b​) Đkxđ: \(x\ne\dfrac{1}{2}\).
\(pt\Leftrightarrow\left(m+3\right)x=\left(2x-1\right)\left(3m+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(5m+1\right)x=3m+2\). (*)
​Xét \(5m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-1}{5}\) thay vào phương trình ta có:
\(0x=\dfrac{7}{5}\) phương trình vô nghiệm.
​Xét \(5m+1\ne0\Leftrightarrow m\ne\dfrac{-1}{5}\).
​Khi đó (*) có nghiệm là: \(x=\dfrac{3m+2}{5m+1}\).
​Để \(x=\dfrac{3m+2}{5m+1}\) là nghiệm của phương trình thì:
\(x=\dfrac{3m+2}{5m+1}\ne\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow2\left(3m+2\right)\ne5m+1\)\(\Leftrightarrow m\ne-3\).
​Biện luận:
​Với \(m=-\dfrac{1}{5}\) hoặc \(m=-3\) phương trình vô nghiệm.
​Với \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne-\dfrac{1}{5}\\m\ne-3\end{matrix}\right.\) phương trình có nghiệm duy nhất là: \(x=\dfrac{3m+2}{5m+1}\).

a) ⇔ (m – 3)x = 2m + 1.

b) ⇔ (m² – 4)x = 3m – 6.

c) ⇔ 2(m – 1)x = 2(m-1).

a) \(m\left(m-6\right)x+m=-8x+m^2-2\)
\(\Leftrightarrow x\left(m^2-6m+8\right)=m^2-m-2\)
- Xét \(m^2-6m+8=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=2\end{matrix}\right.\)
Th1. Thay \(m=4\) vào phương trình ta có:
\(0.x=10\) (vô nghiệm)
Th2. Thay \(m=2\) vào phương trình ta có:
\(0.x=0\) (luôn đúng với mọi \(x\in R\))
- Xét: \(m^2-6m+8\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne4\\m\ne2\end{matrix}\right.\)
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất là:
\(x=\dfrac{m^2-m-2}{m^2-6m+8}\)
Biện luận:
- \(m=4\) phương trình vô nghiệm.
- \(m=2\) phương trình luôn có nghiệm.
- \(m\ne4\) và \(m\ne2\) phương trình có nghiệm duy nhất là:
\(x=\dfrac{m^2-m-2}{m^2-6m+8}\)

b) Đkxđ: \(x\ne-1\)
\(\dfrac{\left(m-x\right)x+3}{x+1}=2m-1\)\(\Leftrightarrow\left(m-x\right)x+3=\left(2m-1\right)\left(x+1\right)\) \(\Leftrightarrow-x^2+x\left(1-m\right)+4-2m=0\) (*)
Xét (*) có nghiệm \(x=-1\) .
Khi đó: \(-\left(-1\right)^2+\left(-1\right)\left(1-m\right)+4-2m=0\)\(\Leftrightarrow m=2\)
Xét \(m=2\) thay vào phương trình ta có:
\(\dfrac{\left(2-x\right)x+3}{x+1}=2.2-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^2+2x+3=0\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=3\)
Vậy với m = 2 thì phương trình có nghiệm x = 3.
Xét \(m\ne2\)
\(\Delta=\left(1-m\right)^2-4.\left(-1\right).\left(4-2m\right)=\)\(m^2-10m+17\)
Nếu \(\Delta=0\Leftrightarrow m^2-10m+17=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5+2\sqrt{2}\\m=5-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5+2\sqrt{2}\right)}{2}=-2-\sqrt{2}\left(\ne-1\right)\) nếu \(m=5+2\sqrt{2}\).
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5-2\sqrt{2}\right)}{2}=-2+\sqrt{2}\left(\ne-1\right)\)  nếu \(m=5-2\sqrt{2}\).
Nếu \(\Delta>0\Leftrightarrow m^2-10m+17>0\)\(\Leftrightarrow\left(m-5+2\sqrt{2}\right)\left(m-5-2\sqrt{2}>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>5+2\sqrt{2}\\m< 5-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)+\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)-\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
Biện luận:
Nếu \(\Delta< 0\Leftrightarrow5-2\sqrt{2}< m< 5+2\sqrt{2}\) thì phương trình vô nghiệm.
Biện luận:
Với \(m=5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có nghiệm kép là:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5-2\sqrt{2}\right)}{2}=-2+\sqrt{2}\)
Với \(m=5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có nghiệm kép là:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5+2\sqrt{2}\right)}{2}=-2-\sqrt{2}\)
Với  m = 2 thì phương trình có duy nhất nghiệm là: x = 3
Với \(m>5+2\sqrt{2}\) hoặc \(m< 5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)+\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\);
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)-\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
Với \(5-2\sqrt{2}< m< 5+2\sqrt{2}\)  và \(m\ne2\) thì phương trình vô nghiệm.

c) Đkxđ: \(x\ne1\)
\(\dfrac{\left(2m+1\right)x-m}{x-1}=x+m\)
\(\Rightarrow\left(2m+1\right)x-m=\left(x+m\right)\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\left(2+m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[x-\left(2+m\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2+m\end{matrix}\right.\)
Phương trình luôn có một \(x=0\).
Để \(x=2+m\) là một nghiệm của phương trình thì:
\(2+m\ne1\Leftrightarrow m\ne-1\).
Biện luận:
\(m=-1\) phương trình có một nghiệm x = 0.
\(m\ne-1\) phương trình có hai nghiệm: \(x=0\) và \(x=2+m\).

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+\left(3m+1\right)y=m-1\\\left(m+2\right)x+\left(4m+3\right)y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(m+2\right)x+\left(m+2\right)\left(3m+1\right)y=\left(m-1\right)\left(m+2\right)\\2\left(m+2\right)x+2\left(4m+3\right)y=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(m+2\right)\left(3m+1\right)y-2.\left(4m+3\right)y\)\(=\left(m-1\right)\left(m+2\right)-2m\)
\(\Leftrightarrow\left(3m^2-m-4\right)y=m^2-m-2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(3m-4\right)y=\left(m+1\right)\left(m-2\right)\) (*)
Th1: \(\left(m+1\right)\left(3m-4\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
Với \(m=-1\) thay vào hệ phương trình ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-2y=-2\\x-y=-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y-1\).
Khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\y\in R\end{matrix}\right.\).
Với \(m=\dfrac{4}{3}\) thay vào (*) ta được: \(0y=-\dfrac{2}{3}\) (Vô nghiệm)
Khi đó hệ phương trình vô nghiệm.
Th2: \(\left(m+1\right)\left(3m-4\right)\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\m\ne\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\).
Khi đó (*) có nghiệm: \(y=\dfrac{m-2}{3m-4}\).
Thay vào ta được: \(2x+\left(3m+1\right).\dfrac{m-2}{3m-4}=m-1\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3-m}{3m-4}\).
Thử lại: \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-m}{3m-4};\dfrac{m-2}{3m-4}\right)\) thỏa mãn hệ phương trình.
Biện luận:
Với \(m=-1\) hệ phương trình có vô số nghiệm loại: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\y\in R\end{matrix}\right.\).

Với \(m=\dfrac{4}{3}\) hệ phương trình vô nghiệm.
Với \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\m\ne\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) hệ có nghiệm duy nhất là: \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-m}{3m-4};\dfrac{m-2}{3m-4}\right)\).

\(PT\Leftrightarrow m^2x-m^2-5mx+m+6x+2=0\\ \Leftrightarrow x\left(m^2-5m+6\right)=m^2-m-2\\ \Leftrightarrow x\left(m-2\right)\left(m-3\right)=\left(m-2\right)\left(m+1\right)\)

Với \(m\ne2;m\ne3\)

\(PT\Leftrightarrow x=\dfrac{\left(m-2\right)\left(m+1\right)}{\left(m-2\right)\left(m-3\right)}=\dfrac{m+1}{m-3}\)

Với \(m=2\Leftrightarrow0x=0\left(vsn\right)\)

Với \(m=3\Leftrightarrow0x=4\left(vn\right)\)

Vậy với \(m\ne2;m\ne3\) thì PT có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{m+1}{m-3}\), với \(m=2\) thì PT có vô số nghiệm và với \(m=3\) thì PT vô nghiệm

c.

\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)+cos\left(90^0-78^0+x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow2cos\left(x+12^0\right)=1\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+12^0=60^0+k360^0\\x+12^0=-60^0+k360^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=48^0+k360^0\\x=-72^0+k360^0\end{matrix}\right.\)

2.

Do \(-1\le sin\left(3x-27^0\right)\le1\) nên pt có nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\ge-1\\2m^2+m\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m+1\ge0\left(luôn-đúng\right)\\2m^2+m-1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)

a.

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+15^0=arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x+15^0=-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-15^0+arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x=-15^0-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)

b.

\(2x-10^0=arccot\left(4\right)+k180^0\)

\(\Rightarrow x=5^0+\dfrac{1}{2}arccot\left(4\right)+k90^0\)

2.

Phương trình \(sin\left(3x-27^o\right)=2m^2+m\) có nghiệm khi:

\(2m^2+m\in\left[-1;1\right]\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\le1\\2m^2+m\ge-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(2m-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)